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Skalarprodukt

Skalarprodukt

Vektoren multiplizieren

Das Skalarprodukt ordnet zweien Vektoren eine Zahl, ein sogenanntes “Skalar” zu. Anders formuliert: Multipliziert man zwei Vektoren (Skalarprodukt), so ergibt es ein Skalar.

Das Skalarprodukt wird hauptsächlich verwendet zum Herausfinden von Winkeln zwischen Vektoren, oder zum herausfinden ob zwei lineare Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander sind.

Bei Vektormultiplikationen wird häufig statt das typische Multiplikationszeichen ein Kringel benutzt. In den Erläuterungen der Formeln werden Vektoren ohne Vektorpfeil dargestellt und Beträge mit Betragsstrichen.

a ∘ b: Skalarprodukt

|a| und |b|: Beträge (Längen) der Vektoren

Video von TheSimpleMaths

Das Thema kurz und humorvoll zusammengefasst

Da wir in der obenstehenden Formel mit dem Cosinus multiplizieren, können wir folgern: Der Cosinus von 90° beträgt genau 0, stehen also die beiden Vektoren 90° (rechtwinklig) zueinander, so ergibt das Skalarprodukt 0. So lässt sich anhand des Skalarproduktes herausfinden, ob ein rechter Winkel besteht.

Anwendung

Typische Aufgaben

1. Fehlende Vektorparameter berechnen

Da Aufgabe a) und b) das selbe Prinzip haben, lösen wir nur eine. Wir können die Werte jeder Zeile miteinander multiplizieren und anschliessend verrechnen um zum gesuchten Wert von u zu kommen. Wir wissen dass rechts von der Gleichung 0 sein muss, denn die Vektoren sind rechtwinklig (Siehe Hinweis oberhalb).

1. Zwischenwinkel berechnen (Methode 1)

Wir gehen hier Aufgabe a) an. Mit obenstehender Formel können wir nach Cos(x) auflösen – So erhalten wir den gesuchten Zwischenwinkel. Wenn wir dann die Rechnung auflösen, erhalten wir unseren Cosinuswert. Anschliessend ziehen wir den Arcus Cosinus was uns den Zwischenwinkel ergibt.

1. Zwischenwinkel berechnen (Methode 2)

Widmen wir uns jetzt Aufgabe b). Dieses mal stellen wir die Formel etwas anders um. Am Ende berechnen wir genau das selbe und auf einem fast gleichen Weg, nur der Anfang unterscheidet sich. Für manche ist der Weg allerdings leichter verständlich. Wenn wir die Rechnung auflösen, erhalten wir den Cosinuswert welcher mit dem Arcus Cosinus den Zwischenwinkel ergibt.

4. Orthogonalen Vektor suchen

Da wir orthogonale (rechtwinklige) Vektoren suchen, müssen wir den gegebenen Vektor mit 3 gesuchten Werten gleich Null setzen. Das lässt uns mit folgendem Wert zurück:

Jetzt geben wir zwei der Werte einfach eine Variabel um besser damit rechnen zu können. Hier sagen wir n1 =r und n2 = s. Fügen wir das oben ein erhalten wir: 2r – 3s +n3 = 0. Daraus folgt: n3 = -2r + 3s. Setzen wir das jetzt in den gesuchten Vektor ein und stellen es etwas anders dar:

Was ist denn das? Die Lösung? Ja! Die beiden Vektoren die wir erhalten haben sind orthogonal zum gegebenen Vektor. Die Menge aller zu Vektor u orthogonalen Vektoren ist die Menge aller Linearkombinationen aus zwei linear unabhängigen Vektoren.

Der Null-Trick

Einfach und schnell orthogonale Vektoren finden

Vektorielle Parametergleichungen

Aufgaben mit Stütz- und Richtungsvektoren

Gerade im Raum

Die vektorielle Parametergleichung brauchen wir um Geraden mit Vektoren eindeutig darstellen zu können. Dazu benötigen wir wie in der Abbildung oben gezeigt den Stützvektor (Vektor a) und den Richtungsvektor (Vektor m). Es spielt dabei keine Rolle wo auf der Gerade der Stützvektor hinzeigt, also gibt es unendlich Möglichkeiten den Stützvektor einzuzeichnen und zu setzen. Der Richtungsvektor gibt wie der Name schon nahelegt die Richtung der Gerade an.

Beispielaufgabe

Die vektorielle Parametergleichung brauchen wir um Geraden mit Vektoren eindeutig darstellen zu können. Dazu benötigen wir wie in der Abbildung oben gezeigt den Stützvektor (Vektor a) und den Richtungsvektor (Vektor m). Es spielt dabei keine Rolle wo auf der Gerade der Stützvektor hinzeigt, also gibt es unendlich Möglichkeiten den Stützvektor einzuzeichnen und zu setzen. Der Richtungsvektor gibt wie der Name schon nahelegt die Richtung der Gerade an.

Ebene im Raum

Die vektorielle Parametergleichung brauchen wir um Geraden mit Vektoren eindeutig darstellen zu können. Dazu benötigen wir wie in der Abbildung oben gezeigt den Stützvektor (Vektor a) und den Richtungsvektor (Vektor m). Es spielt dabei keine Rolle wo auf der Gerade der Stützvektor hinzeigt, also gibt es unendlich Möglichkeiten den Stützvektor einzuzeichnen und zu setzen. Der Richtungsvektor gibt wie der Name schon nahelegt die Richtung der Gerade an.

Beispielaufgabe

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